Chapter 05

신호 찾기: 코드 위상 × 도플러

비행기에서 내려 휴대폰을 켜면 위치가 잡히기까지 한참 걸리기도 하고, 매일 쓰는 동네에서는 1초 만에 잡힌다. 차이는 “어디를 찾아야 하는지”를 아느냐다. 수신기는 처음에 각 위성 신호가 코드의 몇 번째 칩에서, 얼마나 주파수가 밀려서 오는지 모른다. 이 장에서는 그 두 축의 숨바꼭질, 신호 획득(acquisition)을 본다.

도플러: 위성이 다가오고 멀어진다

위성은 초속 3.9 km로 돈다. 지평선 위로 막 떠오르는 위성은 나에게 다가오고, 지는 위성은 멀어진다. 그 시선 방향 속도만큼 받는 주파수가 밀린다. 지구 표면에서 본 GPS 위성의 시선 속도는 최대 약 930 m/s, L1 파장(19 cm)으로 나누면 최대 약 ±4.9 kHz다. 여기에 수신기 수정 진동자의 오차가 더해진다. 1 ppm이면 L1에서 1.575 kHz다. 그래서 처음 찾을 때는 ±5~10 kHz를 뒤져야 한다.

도플러는 코드에도 영향을 준다. 반송파가 1,540배 빠르므로(1,575.42 ÷ 1.023), 반송파 도플러를 1,540으로 나눈 만큼 코드 속도도 밀린다. 오래 적분할수록 이 코드 밀림도 챙겨야 한다.

탐색 격자

수신기는 위성 하나마다 두 축을 뒤진다. 코드 위상은 1,023칩을 반 칩 간격으로 2,046칸, 도플러는 칸 폭을 적분 시간에 맞춰(대략 1/(2T)) 나눈다. 1 ms 적분이면 500 Hz 칸, ±5 kHz면 20칸, 모두 약 4만 칸이다. 각 칸에서 복제 신호와 받은 신호를 상관시켜 크기를 보고, 문턱을 넘는 봉우리가 있으면 “찾았다”.

다이얼 두 개짜리 라디오

주파수 다이얼과 시간 다이얼이 둘 다 맞아야만 소리가 들리는 라디오가 있다고 하자. 하나만 맞아서는 아무것도 들리지 않으니, 두 다이얼의 모든 조합을 하나씩 돌려 볼 수밖에 없다. 위성 신호 찾기가 이렇다. 도플러가 주파수 다이얼, 코드 위상이 시간 다이얼이다.

예측해 보기

약한 신호를 잡으려고 적분을 1 ms에서 10 ms로 늘렸다. 위성 하나의 탐색 칸 수는?

도플러 칸 폭은 대략 1/(2T)이다.

칸 폭이 500 Hz에서 50 Hz로 좁아져 ±5 kHz를 덮는 도플러 칸이 20개에서 200개가 된다. 칸 하나에 쓰는 시간도 10배이므로 탐색 시간은 약 100배가 된다. 감도를 얻으려면 A-GNSS로 도플러 범위를 미리 좁혀야 하는 이유다.
SIMULATOR

코드 위상 × 도플러 격자에서 봉우리 찾기

격자 칸 수(±5 kHz)—
봉우리 / 잡음 최대—
판정—
그림: 진짜 위치 근처만 확대한 격자. 가로 = 코드 위상 120칩(반 칩 간격), 세로 = 도플러 칸 40개(칸 폭 = 1/(2T)), 밝을수록 상관이 크다. 실제 격자는 이보다 훨씬 크다(읽기 칸 수 참고). 해볼 것: ① C/N0 42 dB-Hz, 1 ms면 봉우리가 또렷하다. 38 dB-Hz만 되어도 1 ms로는 잡음 봉우리와 겨루기 시작한다. ② C/N0를 32 dB-Hz로 낮추면 잡음에 묻힌다. 적분을 10 ms로 늘리거나 비결맞음 합을 20번 하면 다시 보인다. ③ 적분을 늘리면 도플러 칸이 좁아져 칸 수가 늘어난다(같은 범위를 더 촘촘히). 20 ms를 넘는 결맞음 적분은 항법 비트가 뒤집히는 순간 신호가 상쇄되어 따로 처리가 필요하다(7장). 모델: 상관 크기 = √(2·C/N0·T)·삼각형 코드 상관·|sinc(πΔf·T)|, 칸 안의 잡음은 레일리 분포, 비결맞음 합은 크기를 더함(씨앗 고정).

첫 위치까지의 시간

신호를 찾았다고 위치가 나오지는 않는다. 위성 위치를 계산하려면 그 위성이 방송하는 정밀 궤도 정보(궤도력, 7·8장)가 필요하고, 50 bps로 오는 그 정보를 다 받는 데 최소 18초, 보통 30초 가까이 걸린다. 그래서 TTFF(Time To First Fix)는 무엇을 미리 아느냐에 따라 크게 다르다.

SIMULATOR

시동 방식별 첫 위치 시간

시동
탐색 시간—
궤도 정보 받기—
첫 위치까지—
막대: 탐색(어떤 위성·어떤 칸) + 추적 안정화 + 궤도 정보 받기. 가정: 냉시동 = 위성 32기 × 도플러 ±10 kHz 모두 뒤짐, 온시동 = 알마낙·대략 위치·시각으로 보이는 위성 10기와 도플러 ±1 kHz만, 열시동 = 유효한 궤도력이 있어 메시지를 받지 않음, A-GNSS = 통신망에서 궤도력·시각·대략 위치를 받음. 위성 하나의 칸 수 = 2,046 × (도플러 범위 ÷ 칸 폭), 칸마다 적분 시간 × 필요한 합 횟수(C/N0가 낮을수록 늘어남). 궤도 정보는 서브프레임 1~3 = 18 s + 시작을 기다리는 평균 6 s(7장). 실제 칩은 수만~수십만 칸을 동시에 상관해 훨씬 빠르기도 하다.

핵심 정리

  1. 위성 운동이 L1에서 최대 약 ±4.9 kHz의 도플러를 만들고, 수신기 시계 1 ppm마다 1.575 kHz가 더해진다.
  2. 획득 = 코드 위상(2,046칸) × 도플러(±5 kHz ÷ 칸 폭) 격자에서 상관 봉우리 찾기. 1 ms 적분이면 위성당 약 4만 칸.
  3. 적분을 늘리면 감도는 오르지만 칸이 촘촘해지고, 결맞음 적분은 20 ms 항법 비트가 막는다.
  4. TTFF: 냉시동(수십 초~분) > 온시동 > 열시동(수 초). A-GNSS가 궤도력을 통신망으로 줘 휴대폰은 몇 초 만에 잡는다.

확인 퀴즈

시선 속도 800 m/s인 GPS 위성의 L1 도플러는 대략?

800 ÷ 0.19 m ≈ 4.2 kHz.

결맞음 적분을 20 ms보다 길게 하기 어려운 이유는?

비트가 뒤집히면 앞뒤 적분이 서로 지운다.

휴대폰이 대개 몇 초 만에 위치를 잡는 이유는?

13장. 탐색 범위가 좁아지고 30초짜리 메시지를 기다리지 않는다.

적분 시간을 1 ms → 10 ms로 늘리면 도플러 칸 수는?

칸 폭 ≈ 1/(2T)이 좁아진다.