Chapter 02

궤도: 2만 km 위의 별자리

국제우주정거장은 400 km 높이에서 90분마다 지구를 한 바퀴 돈다. 위성 방송 위성은 3만 6천 km에서 하늘 한 점에 멈춰 있다. GNSS 위성은 그 사이, 약 2만 km에서 반나절마다 한 바퀴를 돈다. 왜 그 높이일까? 이 장에서는 케플러 법칙으로 높이와 주기를 계산하고, 하늘에 몇 개의 위성이 어떻게 떠 있는지 그려 본다.

궤도 반지름과 주기의 관계(케플러 제3법칙)로 GPS 위성의 주기가 반 항성일인 것을 계산한다.
저궤도·중궤도·정지 궤도의 맞바꿈(보이는 넓이, 위성 수, 신호 세기)을 안다.
궤도면 여러 개에 나눠 놓은 위성군이 지상에서 늘 넷 이상 보이게 하는 방법을 스카이 플롯으로 확인한다.
규격이 정한 기준 궤도값(GPS·Galileo)을 읽는다.

높이가 주기를 정한다

원 궤도를 도는 위성은 중력과 원운동이 균형을 이룬다. 여기서 케플러 제3법칙이 나온다. 주기 T = 2π·√(a³/μ), a는 궤도 반지름(지구 중심에서), μ는 지구 중력 상수다. GPS 규격은 μ = 3.986005 × 10¹⁴ m³/s²를 쓴다. 높이가 오를수록 주기가 길어지고 속도는 느려진다.

GPS 위성의 주기는 정확히 반 항성일(11시간 58분)이 되도록 골랐다. 지구가 별을 기준으로 한 바퀴 도는 동안(23시간 56분) 위성은 두 바퀴를 돌아, 같은 위성이 매일 약 4분씩 일찍 같은 하늘 자리에 돌아온다. 이 주기에 해당하는 궤도 반지름이 약 26,560 km(고도 약 20,200 km)이고, GPS 규격도 기준 반지름 26,559,710 m를 쓴다.

운동장 바깥 레인

운동장 안쪽 레인을 도는 선수는 빨리 돌아오고, 바깥 레인은 한 바퀴가 길다. 궤도는 여기에 하나가 더 붙는다. 높이 올라갈수록 지구가 당기는 힘이 약해서 속도도 느려진다. 그래서 높은 궤도의 주기는 거리보다 더 빨리 길어진다.

예측해 보기

궤도 반지름을 4배로 늘리면 주기는 몇 배가 될까?

케플러 제3법칙: 주기² ∝ 반지름³.

T ∝ a^3/2이므로 4^1.5 = 8배다. 반지름 약 6,650 km인 저궤도(약 90분)의 4배는 약 26,600 km, 주기는 약 12시간으로 GPS 궤도와 거의 같다. 아래 시뮬레이터에서 직접 확인해 보자.

SIMULATOR

고도와 주기, 속도

고도

주기—

속도—

지구 표면에서 보이는 넓이(앙각 10° 이상)—

그래프: 고도(가로, 로그)에 따른 주기. 점은 대표 궤도. 해볼 것: ① 고도 20,200 km면 주기 약 11시간 58분(반 항성일)이다. ② 35,786 km면 23시간 56분, 지구와 같이 돌아 하늘에 멈춰 있는 정지 궤도. ③ 400 km(우주정거장)는 위성 하나가 지구 표면의 약 1%만 보므로, 늘 넷 이상 보이려면 위성이 수백 기 필요하다. GPS 고도에서는 위성 하나가 지구 표면의 약 30%를 보므로 수십 기로 전 세계를 덮는다. 계산: T = 2π√(a³/μ), v = √(μ/a), 보이는 넓이 = 앙각 10° 이상인 지구 표면 비율.

μ = 3.986005 × 10¹⁴ m³/s², Ω̇_e = 7.2921151467 × 10⁻⁵ rad/s: IS-GPS-200N 표 20-IV(sheet 1, p.106) · 기준 반지름 A_ref = 26,559,710 m, 경사 55°: IS-GPS-200N 표 30-V(미디 알마낙 매개변수)의 주석 · Galileo 기준 궤도 a = 29,600,000 m, 경사 56°, 이심률 0, 24기 + 예비 최대 6기, 원 궤도면 3개: Galileo OS SIS ICD 2.2 Table 1

궤도면에 나눠 놓기

GPS는 기울기 55°인 궤도면 6개에 위성을 나눠 놓았고, Galileo는 56° 궤도면 3개에 8기씩 놓았다. 궤도면을 기울이면 위성이 남북으로도 오가므로 극지방 가까이까지 덮는다. 궤도면과 위성 자리를 고르게 흩어 놓으면, 지구 어디서든 언제나 하늘에 위성 여럿이 고루 퍼져 보인다.

하늘의 위성 배치는 스카이 플롯(sky plot)으로 그린다. 가운데가 머리 위(앙각 90°), 바깥 원이 지평선(0°), 위쪽이 북쪽이다. 수신기는 보통 앙각 5~15° 아래의 위성을 버린다(앙각 마스크). 지평선 가까운 신호는 대기를 길게 지나고 건물·지형에 가리기 쉬워서다(10·11장).

SIMULATOR

스카이 플롯

위성군

위도 시각(시간) 앙각 마스크

마스크 위의 위성—

하루 중 최소—

하루 중 최대—

위성 점 색: 초록 = GPS형, 파랑 = Galileo형, 회색 = 마스크 아래. 해볼 것: ① 서울(37°)에서 GPS형 24기만으로도 마스크 10° 위에 하루 내내 5기 이상이 보인다. ② 마스크를 30°로 올리면(빌딩 숲, 11장) 3기로 떨어지는 시간이 생긴다. “둘 다”로 바꾸면 최소 7기로 메워진다. ③ 위도 80°로 가면 위성 수는 많지만 모두 남쪽 하늘에 몰리고 머리 위가 빈다(55° 경사 궤도는 위도 55°보다 북쪽 상공을 지나지 않는다). 높이 방향 정확도(VDOP, 9장)에 불리한 배치다. 모델: 실제 궤도력이 아닌 이상적인 원 궤도 위성군(GPS형 6면 × 4기 · 55° · 26,560 km, Galileo형 3면 × 8기 · 56° · 29,600 km), 구형 지구, 경도 127°.

핵심 정리

T = 2π√(a³/μ). GPS는 반 항성일(11시간 58분) 주기, 반지름 약 26,560 km(고도 20,200 km), 매일 약 4분씩 일찍 같은 자리에 온다.
중궤도는 저궤도보다 넓게 보고(위성 수가 적어도 됨), 정지 궤도보다 신호가 세고 전 세계를 덮는다.
GPS: 55° 궤도면 6개, Galileo: 56° 궤도면 3개 × 8기(a = 29,600 km). 어디서든 늘 여러 위성이 고루 보인다.
스카이 플롯과 앙각 마스크. 마스크를 높이면(도시) 보이는 위성이 줄고 여러 위성군이 도움이 된다.

확인 퀴즈

GPS 위성의 공전 주기는?

하루에 두 바퀴. 같은 위성이 매일 약 4분 일찍 돌아온다.

궤도 반지름을 늘리면 주기는?

케플러 제3법칙 T ∝ a^1.5.

Galileo 위성군의 기준 궤도 반지름은?

Galileo OS SIS ICD Table 1: 29,600,000 m, 56°, 궤도면 3개.

수신기가 낮은 앙각의 위성을 버리는 이유는?

앙각 마스크 5~15°가 흔하다.