Chapter 03

신호와 주파수: 잡음 아래의 목소리

GPS 위성의 송신기는 수십 와트, 형광등 몇 개 정도다. 그 신호가 2만 km를 날아오면 지상에서는 잡음보다 약하다. 스펙트럼 분석기로 보면 아무것도 보이지 않는다. 그런데도 휴대폰은 이 신호를 받아 낸다. 이 장에서는 GNSS 신호가 어떤 주파수에 어떤 모양으로 실리는지, 그리고 잡음 아래의 신호를 어떻게 건져 올리는지를 숫자로 본다.

GPS·Galileo의 반송파가 모두 10.23 MHz의 정수배라는 것을 규격 값으로 확인한다.
상대론 때문에 위성 시계를 일부러 −4.4647 × 10⁻¹⁰만큼 늦춰 두는 이유를 직접 계산한다.
최소 수신 전력 −158.5 dBW에서 C/N0와 적분 이득을 계산해, 잡음 아래 신호를 받는 원리를 안다.
BPSK와 BOC 신호의 스펙트럼 모양 차이를 그래프로 비교한다.

모든 것은 10.23 MHz에서

GPS 위성 안에는 원자시계에서 나온 10.23 MHz 기준 신호가 하나 있고, 모든 반송파와 코드 속도가 그 정수배나 약수다. L1 = 154 × 10.23 = 1,575.42 MHz, L2 = 120 ×, L5 = 115 ×. C/A 코드는 그 10분의 1인 1.023 Mchip/s, P 코드는 10.23 Mchip/s다. Galileo도 GPS와 함께 쓰이도록 같은 눈금을 따른다. E1은 L1과 같은 주파수다.

신호	× 10.23 MHz	반송파	쓰임

L1 1,575.42 MHz·L2 1,227.6 MHz: IS-GPS-200N 3.3.1.1(p.14) · L5 1,176.45 MHz: IS-GPS-200N 6.2.5(L5 상세는 별도 규격 IS-GPS-705) · Galileo E1 1,575.420, E6 1,278.750, E5a 1,176.450, E5b 1,207.140 MHz: Galileo OS SIS ICD 2.2 2.2절 표 · 칩 속도 C/A 1.023, P 10.23 Mbps: IS-GPS-200N 3.2.1

늦게 맞춰 둔 시계: 상대론

위성 시계는 지상에서 볼 때 두 가지 이유로 다르게 간다. 위성이 빠르게 움직여서(특수 상대론) 느리게 가고, 지구 중력에서 멀리 있어서(일반 상대론) 빠르게 간다. 둘을 합치면 위성 시계가 하루에 약 38 µs 빨리 간다. 거리로 치면 하루에 11 km씩 어긋나는 셈이다. 그래서 GPS는 위성 안의 기준 주파수를 일부러 조금 낮게 맞춰, 지상에서 보면 정확히 10.23 MHz가 되게 한다. 규격은 그 비율을 Δf/f = −4.4647 × 10⁻¹⁰, 즉 10.2299999954326 MHz라고 적는다.

예측해 보기

위성 시계를 일부러 늦춰 두지 않으면 하루에 얼마나 빨라질까?

규격의 비율은 4.4647 × 10⁻¹⁰, 하루는 86,400초.

4.4647 × 10⁻¹⁰ × 86,400 s ≈ 38.6 µs. 빛으로 약 11.6 km다. 그래서 IS-GPS-200N 3.3.1.1은 위성의 기준 주파수를 10.23 MHz보다 Δf/f = −4.4647 × 10⁻¹⁰만큼 낮게 맞춰 둔다.

CALCULATOR

상대론 보정을 직접 계산하기

궤도 반지름

일반 상대론(중력)—

특수 상대론(속도)—

합(하루 / 비율)—

그래프: 궤도 반지름(가로)에 따른 하루당 시계 차이(µs). 위로 = 위성 시계가 빠름. 해볼 것: ① GPS 반지름(26,560 km)에서 합이 약 +38.6 µs/일, 비율 +4.4645 × 10⁻¹⁰으로 규격의 −4.4647 × 10⁻¹⁰과 크기가 같다(부호는 보정 방향). ② 반지름을 줄이면 약 9,550 km에서 두 효과가 상쇄되고, 더 낮은 궤도(우주정거장)에서는 오히려 느려진다. 계산: 일반 상대론 = L_G − μ/(a·c²), 특수 상대론 = −v²/(2c²), v = √(μ/a). L_G = 6.969290134 × 10⁻¹⁰은 지상 시계가 놓인 지오이드의 퍼텐셜(지구 자전 효과 포함)을 c²로 나눈 값(IERS Conventions 2010). 이 값을 쓰면 GPS 반지름에서 합이 4.4645 × 10⁻¹⁰으로 규격과 소수 셋째 자리까지 맞는다.

Δf/f = −4.4647E-10, 10.2299999954326 MHz: IS-GPS-200N 3.3.1.1(p.13~14) · 이심률에 따른 나머지 상대론 항(Δt_r = F·e·√A·sin E_k)은 사용자가 보정: 같은 규격 20.3.3.3.3.1(8장)

잡음 아래에서 건져 올리기

GPS 규격은 지상의 0 dBi 안테나에서 L1 C/A 신호를 최소 −158.5 dBW(−128.5 dBm)로 보장한다. 신호가 차지하는 약 2 MHz 폭의 열잡음은 −174 dBm/Hz + 63 dB ≈ −111 dBm이다. 신호가 잡음보다 17 dB 넘게 약하다.

비밀은 4장의 PRN 코드다. 수신기는 받은 신호에 같은 코드를 곱해 더한다(상관). 코드와 맞는 신호는 계속 쌓이고, 잡음은 들쭉날쭉해 덜 쌓인다. 1 ms(코드 한 주기) 동안 더하면 1/(1 kHz)의 좁은 폭으로 줄인 셈이 되어, 2 MHz 대비 약 30 dB를 얻는다. 그래서 GNSS 신호의 세기는 대역 안의 SNR이 아니라 C/N0(carrier-to-noise density), 1 Hz당 잡음에 대한 신호 세기(dB-Hz)로 말한다. 맑은 하늘에서 휴대폰은 보통 35~45 dB-Hz를 본다.

시끄러운 운동장의 박수 신호

운동장 소음 속에서 친구 하나가 미리 정한 박자로 손뼉을 친다. 한 번만 치면 묻히지만, 같은 박자를 오래 들을수록 소음은 서로 상쇄되고 박자만 쌓여서 들린다. 코드를 아는 수신기가 적분 시간을 늘리는 것이 바로 이것이다. 적분 시간을 10배 늘리면 신호 대 잡음비가 10 dB 오른다.

SIMULATOR

수신 전력에서 C/N0와 적분 이득까지

받는 신호 세기 수신기 잡음 지수 적분 시간

2 MHz 안의 SNR—

C/N0—

적분 후 SNR—

막대: 세기 비교(dBm). 해볼 것: ① 규격 최소값 −158.5 dBW에서 2 MHz 안의 SNR은 약 −19 dB, C/N0는 약 43.5 dB-Hz다. ② 적분 1 ms면 SNR이 +13 dB 남짓, 찾기 쉽다. ③ 건물 안(−20~−30 dB, 11장)을 흉내 내 −185 dBW로 낮추면 C/N0가 17 dB-Hz로 떨어진다. 이때는 수백 ms를 적분해야 해 4장의 항법 비트와 5장의 도플러가 걸림돌이 된다. 계산: C/N0 = P − (−174 dBm/Hz + 잡음 지수), SNR(B) = C/N0 − 10·log₁₀B, 적분 후 SNR = C/N0 + 10·log₁₀T.

최소 수신 전력 L1 C/A −158.5 dBW(0 dBi 우선회 원편파 안테나, 20.46 MHz 대역): IS-GPS-200N 3.3.1.6 표 3-Va(p.15)

BPSK와 BOC

GPS L1 C/A는 코드 칩마다 반송파의 위상을 0°·180°로 뒤집는 BPSK다. 스펙트럼은 반송파를 중심으로 ±1.023 MHz에 첫 영점이 있는 sinc² 모양이다. Galileo E1과 새 GPS L1C는 같은 주파수에 같은 칩 속도를 쓰면서도 서로 덜 겹치도록 BOC(Binary Offset Carrier)를 쓴다. 칩 안에서 부반송파로 한 번 더 뒤집어, 에너지를 중심이 아니라 양옆(±1.023 MHz 근처)으로 밀어낸다. 신호 모양이 뾰족해 다중 경로(11장)에도 조금 더 강하다. Galileo E1은 BOC(1,1)에 BOC(6,1)을 조금 섞은 CBOC다.

SIMULATOR

스펙트럼 모양 비교

BPSK(1) — GPS L1 C/A BOC(1,1) — Galileo E1·GPS L1C의 주성분 BPSK(10) — GPS L5·P 코드

세로: 전력 스펙트럼 밀도(dB, 같은 총전력). 해볼 것: BPSK(1)은 가운데가 가장 높고, BOC(1,1)은 가운데가 0이고 ±1 MHz에 봉우리가 둘이다. 같은 주파수의 두 신호가 서로를 덜 방해하는 이유다. BPSK(10)은 10배 넓어(±10 MHz) 같은 전력이 얇게 펴진다. 계산: BPSK(n): T_c·sinc²(f·T_c), BOC(1,1)(사인 위상): T_c·sinc²(f·T_c)·tan²(πf·T_c/2).

E1 CBOC 칩·부반송파 속도(1.023 / 6.138 MHz)와 BOC(1,1)·BOC(6,1) 전력 배분(1/11): Galileo OS SIS ICD 2.2 2.3절, Table 10

핵심 정리

GPS의 모든 주파수는 10.23 MHz의 배수: L1 ×154, L2 ×120, L5 ×115. Galileo E1 = L1, E5a = L5.
상대론으로 위성 시계는 하루 약 38 µs 빨리 간다. 그래서 기준을 −4.4647 × 10⁻¹⁰ 늦춰 둔다(IS-GPS-200N 3.3.1.1).
L1 C/A 최소 −158.5 dBW는 2 MHz 잡음보다 약 19 dB 약하다. 코드 상관·적분으로 건져 올린다. 세기는 C/N0(dB-Hz)로 말한다.
BPSK는 가운데에, BOC는 양옆에 에너지가 몰린다. 같은 주파수의 신호들이 서로 덜 겹친다.

확인 퀴즈

L1 1,575.42 MHz는 10.23 MHz의 몇 배인가?

154 × 10.23 = 1,575.42.

GPS 위성 시계를 지상 기준보다 조금 느리게 맞춰 두는 이유는?

중력 효과(+45.7 µs)가 속도 효과(−7.2 µs)보다 크다.

GNSS 신호 세기를 보통 어떤 단위로 말하나?

대역 안 SNR은 음수라 쓸모가 적다. 1 Hz당 잡음 대비 신호.

BOC 변조의 스펙트럼 특징은?

같은 주파수의 BPSK 신호와 덜 겹친다.